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校验码辅导讲座

作者：闵涛文章来源：闵涛的学习笔记点击数：3200 更新时间：2009/4/23 18:31:02

A₆ A₅ A₄ A₃ A₂ A₁ 正确 1 0 1 0 0 1 1 000 无错

误

1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1

001

010

100

011

110

111

101

图10 （7，4）CRC码的出错模式（G(x)＝1011）

如果循环码有一位出错，用G(x)作模2除将得到一个不为0的余数。如果对余数补0继续除下去，我们将发现一个有趣的结果；各次余数将按图10顺序循环。例如第一位出错，余数将为001，补0后再除，第二次余数为010，以后依次为100，0ll…，反复循环，这就是“循环码”名称的由来。这是一个有价值的特点。如果我们在求出余数不为0后，一边对余数补0继续做模2除，同时让被检测的校验码字循环左移。图10说明，当出现余数(101)时，出错位也移到A₇位置。可通过异或门将它纠正后在下一次移位时送回A₁。这样我们就不必像海明校验那样用译码电路对每一位提供纠正条件。当位数增多时，循环码校验能有效地降低硬件代价，这是它得以广泛应用的主要原因。

通信与网络中常用的CRC

在数据通信与网络中，通常k相当大，由一千甚至数千数据位构成一帧，而后采用CRC码产生r位的校验位。它只能检测出错误，而不能纠正错误。一般取r=16，标准的16位生成多项式有CRC-16＝x¹⁶+x¹⁵+x²+1 和 CRC-CCITT＝x¹⁶+x¹⁵+x²+1。

一般情况下，r位生成多项式产生的CRC码可检测出所有的双错、奇数位错和突发长度小于等于r的突发错以及（1-2^-(r-1)）的突发长度为r+1的突发错和（1-2^-r）的突发长度大于r+1的突发错。例如，对上述r=16的情况，就能检测出所有突发长度小于等于16的突发错以及99．997%的突发长度为17的突发错和99．998%的突发长度大于17的突发错。所以CRC码的检错能力还是很强的。这里，突发错误是指几乎是连续发生的一串错，突发长度就是指从出错的第一位到出错的最后一位的长度(但是，中间并不一定每一位都错)。

【例1】某循环冗余码（CRC）的生成多项式 G(x)＝x³+x²+1，用此生成多项式产生的冗余位，加在信息位后形成 CRC 码。若发送信息位 1111 和 1100 则它的 CRC 码分别为＿A＿和＿B＿。由于某种原因，使接收端收到了按某种规律可判断为出错的 CRC 码，例如码字＿C＿、＿D＿、和＿E＿。（1998年试题11）
供选择的答案

A：① lllll00 ② 1111101 ③ 1111110 ④ 1111111 B：① 1100100 ② 1100101 ③ 1100110 ④ 1100111 C～E：① 0000000 ② 0001100 ③ 0010111 　 ⑤ 1000110 ⑥ 1001111 ⑦ 1010001 ⑧ 1011000

解：

A：G(x)＝1101，C(x)＝1111 C(x)*2³÷G(x)＝1111000÷1101＝1011余111

得到的CRC码为1111111

B：G(x)＝1101，C(x)＝1100 C(x)*2³÷G(x)＝1100000÷1101＝1001余101

得到的CRC码为1100101

C～E：

分别用G(x)＝1101对①～⑧ 作模2除: ① 0000000÷1101 余000 ② 1111101÷1101 余001

③ 0010111÷1101 余000 ④ 0011010÷1101 余000 ⑤ 1000110÷1101 余000

⑥ 1001111÷1101 余100 ⑦ 1010001÷1101 余000 ⑧ 1011000÷1101 余100

所以＿C＿、＿D＿和＿E＿的答案是②、⑥、⑧

【例2】计算机中常用的一种检错码是CRC，即 _A_ 码。在进行编码过程中要使用 _B_ 运算。假设使用的生成多项式是 G(X)=X4+X3+X+1，原始报文为11001010101，则编码后的报文为 _C_ 。CRC码 _D_ 的说法是正确的。

在无线电通信中常采用它规定码字长为7位．并且其中总有且仅有3个“1”。这种码的编码效率为_E_。